Корни квадратного уравнения: алгебраический и геометрический смысл

В алгебре квадратным называется уравнение второго порядка. Под уравнением подразумевают математическое выражение, имеющее в своем составе одну или несколько неизвестных. Уравнение второго порядка - это математическое уравнение, имеющее хотя бы одну неизвестную в степени квадрат. Квадратное уравнение - второго порядка уравнение, приведенное к виду тождества, равного нулю. Решить уравнение квадратное означает то же самое, что определить корни уравнения квадратного. Типичное квадратное уравнение в общем виде:

W*c^2 + T*c + O = 0

где W, T - коэффициенты при корнях квадратного уравнения;

O - свободный коэфициент;

c - корень квадратного уравнения (всегда имеет два значения c1 и c2).

Как уже говорилось, задача решения квадратного уравнения - нахождение корней квадратного уравнения. Для того чтобы их найти, необходимо найти дискриминант:

N = T^2 - 4*W*O

Дискриминант необходим для решения формулы нахождения корня c1 и c2:

c1 = (-T + √N) / 2*W и c2 = (-T - √N) / 2*W

Если в квадратном уравнении общего вида коэффициент при корне T имеет кратное значение, то уравнение заменяется на:

W*c^2 + 2*U*c + O = 0

И его корни выглядят как выражение:

c1 = [-U + √(U^2-W*O)] / W и c2 = [-U - √(U^2-W*O)] / W

Часто уравнение может иметь несколько иной вид, когда с_2 может не иметь коэффициента W. В таком случае вышеуказанное уравнение имеет вид:

c^2 + F*c + L = 0

где F - коэффициент при корне;

L - свободный коэффициент;

c - корень уравнения квадратного (всегда имеет два значения c1 и c2).

Данный вид уравнения называется квадратным уравнением приведенным. Название "приведенное" пошло от формулы приведения типичного квадратного уравнения, если коэффициент при корне W имеет значение единица. В таком случае корни квадратного уравнения:

c1 = -F/2 + √[(F/2)^2-L)] и c2 = -F/2 - √[(F/2)^2-L)]

В случае четного значения коэффициента при корне F корни будут иметь решение:

c1 = -F + √(F^2-L) c2 = -F - √(F^2-L)

Если говорить о квадратных уравнениях, то следует вспомнить и Теорему Виета. Она гласит, что для приведенного квадратного уравнения существуют следующие закономерности:

c^2 + F*c + L = 0

c1 + c2 = -F и c1*c2 = L

В общем квадратном уравнении корни квадратного уравнения связаны зависимостями:

W*c^2 + T*c + O = 0

c1 + c2 = -T/W и c1*c2 = O/W

Теперь рассмотрим возможные варианты квадратных уравнений и их решения. Всего их может быть два, так как, если будет отсутствовать член c_2, то уравнение уже не будет квадратным. Следовательно:

1. W*c^2 + T*c = 0 Вариант квадратного уравнения без свободного коэффициента (члена).

Решением будет:

W*c^2 = -T*c

c1 = 0, c2 = -T/W

2. W*c^2 + O = 0 Вариант квадратного уравнения без второго слагаемого, когда одинаковые по модулю корни квадратного уравнения.

Решением будет:

W*c^2 = -O

c1 = √(-O/W), c2 = - √(-O/W)

Все это была алгебра. Рассмотрим геометрический смысл который имеет квадратное уравнение. Уравнением второго порядка в геометрии описывается функция параболы. Для учеников средней школы довольно часто стоит задача, как найти корни квадратного уравнения? Данные корни уравнения дают понятие, как пересекается график функции (параболы) с осью координат - абсцисс. Если, решив квадратное уравнение, мы получаем иррациональное решение корней, то пересечения не будет. Если корень имеет одно физическое значение, то функция пересекает ось абсцисс в одном месте. Если два корня, то, соответственно, - две точки пересечения.

Стоит отметить, что под иррациональным корнем подразумевают отрицательное значение под корнем, при нахождении корней. Физическое значение - любое положительное или отрицательное значение. В случае нахождения только лишь одного корня подразумевают, что корни одинаковые. Ориентацию кривой на декартовой координатной системе также можно предварительно определить по коэффициентам при корнях W и T. Если W имеет положительное значение, то обе ветки параболы имеют направление вверх. Если W имеет отрицательное значение, то - вниз. Также, если коэффициент В имеет положительный знак, при этом W также положительное, то вершина функции параболы находится в пределах "y" от "-" бесконечности до "+" бесконечности, "c" в пределах от минус бесконечности до нуля. Если T - положительное значение, а W - отрицательное, то по другую сторону оси абсцисс.