Как найти площадь четырехугольника?

Если на плоскости последовательно начертить несколько отрезков так, чтобы каждый следующий начинался в том месте, где закончился предыдущий, то получится ломаная линия. Эти отрезки называют звеньями, а места их пересечения — вершинами. Когда конец последнего отрезка пересечется с начальной точкой первого, то получится замкнутая ломаная линия, делящая плоскость на две части. Одна из них является конечной, а вторая бесконечной.

Простая замкнутая линия вместе с заключенной в ней частью плоскости (той, которая конечна) называют многоугольником. Отрезки являются сторонами, а образованные ими углы — вершинами. Количество сторон любого многоугольника равно числу его вершин. Фигура, которая имеет три стороны, называется треугольником, а четыре — четырехугольником. Многоугольник численно характеризуется такой величиной, как площадь, которая показывает размер фигуры. Как найти площадь четырехугольника? Этому учит раздел математики — геометрия.

Чтобы найти площадь четырехугольника, нужно знать к какому типу он относится - выпуклому или невыпуклому? Выпуклый многоугольник весь лежит относительно прямой (а она обязательно содержит какую-либо из его сторон) по одну сторону. Кроме того, есть и такие виды четырехугольников, как параллелограмм с попарно равными и параллельными противоположными сторонами (разновидности его: прямоугольник с прямыми углами, ромб с равными сторонами, квадрат со всеми прямыми углами и четырьмя равными сторонами), трапеция с двумя параллельными противоположными сторонами и дельтоид с двумя парами смежных сторон, которые равны.

Площади любого многоугольника находят, применяя общий метод, который заключается в том, чтобы разбить его на треугольники, для каждого вычислить площадь произвольного треугольника и сложить полученные результаты. Любой выпуклый четырехугольник делится на два треугольника, невыпуклый — на два или три треугольника, площадь его в этом случае может складываться из суммы и разности результатов. Площадь любого треугольника вычисляют как половину произведения основания (a) на высоту (ħ), проведенную к основанию. Формула, которая применяется в этом случае для вычисления, записывается как: S = ½ • a • ħ.

Как найти площадь четырехугольника, например, параллелограмма? Нужно знать длину основания (a), длину боковой стороны (ƀ) и найти синус угла α, образованного основанием и боковой стороной (sinα), формула для расчета будет выглядеть: S = a • ƀ • sinα. Так как синус угла α есть произведение основания параллелограмма на его высоту (ħ = ƀ) — линию перпендикулярная основанию, то его площадь вычисляют, умножив на высоту его основание: S = a • ħ. Для расчета площади ромба и прямоугольника также подходит эта формула. Так как у прямоугольника боковая сторона ƀ совпадает с высотой ħ, то его площадь вычисляют по формуле S = a • ƀ. Площадь квадрата, потому что a = ƀ, будет равняться квадрату его стороны: S = a • a = a². Площадь трапеции вычисляется как половина суммы его сторон, умноженная на высоту (она проводится к основанию трапеции перпендикулярно): S = ½ • (a + ƀ) • ħ.

Как найти площадь четырехугольника, если неизвестны длины его сторон, но известны его диагонали (e) и (f), а также синус угла α? В этом случай площадь вычисляют, как половину произведения его диагоналей (линии, которые соединяют вершины многоугольника), умноженное на синус угла α. Формула может быть записана в таком виде: S = ½ • (e • f) • sinα. В частности площадь ромба в этом случае будет равняться половине произведения диагоналей (линии, соединяющие противоположные углы ромба): S = ½ • (e • f).

Как найти площадь четырехугольника, который не является параллелограммом или трапецией, его обычно принято называть произвольный четырехугольник. Площадь такой фигуры выражают через его полупериметр (Ρ — сумма двух сторон с общей вершиной), стороны a, ƀ, c, d и сумму двух противоположных углов (α + β): S = √[( Ρ – a) • (Ρ – ƀ) • (Ρ – c) • (Ρ – d) – a • ƀ • c • d • cos² ½ (α + β)].

Если четырехугольник вписан в окружность, а φ = 180о, то для расчета его площади используют формулу Брахмагупты (индийский астроном и математик, живший в 6—7 веках нашей эры): S = √[( Ρ – a) • (Ρ – ƀ) • (Ρ – c) • (Ρ – d)]. Если четырехугольник описан окружностью, то (a + c = ƀ + d), а его площадь вычисляют: S = √[ a • ƀ • c • d] • sin ½ (α + β). Если четырехугольник одновременно является описанным одной окружностью и вписанным в другую окружность, то для вычисления площади используют следующую формулу: S = √[a • ƀ • c • d].