Свойства логарифмов, или удивительное - рядом…

Потребность в вычислениях появилась у человека сразу же, как только он сумел дать количественную оценку окружающим его предметам. Можно предположить, что логика количественной оценки постепенно привела к необходимости проведения расчетов типа «сложение-вычитание». Эти два простейших действия изначально являются основными – все остальные манипуляции с числами, известные, как умножение, деление, возведение в степень и т.д. – это простая «механизация» неких вычислительных алгоритмов, в основе которых лежит простейшая арифметика – «сложить-вычесть». Как бы там ни было, но создание алгоритмов вычислений является крупным достижением мысли, а их авторы навсегда оставляют свой след в памяти человечества.

Шесть-семь веков назад в области морской навигации и астрономии возросла потребность в больших объемах вычислений, что и не удивительно, т.к. именно средневековье известно развитием мореплавания и астрономии. В точном соответствии с фразой «потребность рождает предложение» нескольких математиков осенила идея – заменить весьма трудоемкую операцию умножения двух чисел простым сложением (дуально рассматривалась и идея заменить деление вычитанием). Рабочий вариант новой системы вычислений был изложен в 1614 году в работе Джона Непера с очень примечательным названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». Безусловно, дальнейшее совершенствование новой системы продолжалось и далее, но основные свойства логарифмов были изложены еще Непером. Идея системы вычисления с использованием логарифмов заключалась в том, что если некий ряд чисел образует геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют тоже прогрессию, но уже арифметическую. При наличии заранее составленных таблиц новая методика ведения расчетов упрощала вычисления, а первая логарифмическая линейка(1620 год) стала, пожалуй, первым древним и очень эффективным калькулятором – незаменимым инженерным инструментом.

Для первопроходцев дорога всегда с ухабами. Первоначально основание логарифма было взято неудачно, и точность расчетов была невысокая, но уже в 1624 году были изданы уточненные таблицы с десятичным основанием. Свойства логарифмов вытекают из сути определения: логарифм числа b – это такое число С, которое, будучи степенью основания логарифма (число A), дает в результате число b. Классический вариант записи выглядит так: logA(b) = C – что читают так: логарифм b, по основанию A, есть число C. Для выполнения действий с использованием не совсем обычных, логарифмических чисел, необходимо знать некий набор правил, известный как «свойства логарифмов». В принципе все правила имеют общий подтекст – как складывать, вычитать и преобразовывать логарифмы. Вот теперь мы и узнаем, как это делается.

Логарифмический ноль и единица

1. logA (1) = 0, логарифм числа 1 равняется 0 при любом основании – это прямое следствие возведения числа в нулевую степень.

2. logA (A) = 1, логарифм одинакового с основанием числа равен 1 – также хорошо известная истина для любого числа в первой степени.

Сложение и вычитание логарифмов

3. logA(m) + logA(n) = logA (m * n) – сумма логарифмов нескольких чисел равна логарифму их произведения.

4. logA(m) - logA(n) = logA (m / n) – разность логарифмов чисел, аналогично с предыдущим, равна логарифму отношения этих чисел.

5. logA (1 / n) = - logA(n), логарифм обратного числа равен логарифму этого числа со знаком «минус». Нетрудно видеть, что это результат предыдущего выражения 4 при m=1.

Несложно заметить, что правила 3-5 предполагают в обеих частях равенств одинаковое основание логарифма.

Показатели степени в логарифмических выражениях

6. logA (mn)=n * logA (m), логарифм числа в степени n равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени n.

7. log(Ac)(b) = (1/c) * logA(b), что читается как «логарифм числа b, если основание имеет вид Ac, равен произведению логарифма b с основанием A и числа, обратного c».

Формула изменения основания логарифма

8. logA(b) = - logC(b)/logc(A), логарифм числа b с основанием A при переходе к основанию C вычисляется как частное логарифма b с основанием С и логарифма с основанием С числа, равного предыдущему основанию A, причем со знаком «минус».

Перечисленные выше логарифмы и их свойства позволяют при надлежащем применении упростить вычисление больших числовых массивов, благодаря чему сокращается время проведения численных расчетов и обеспечивается приемлемая точность.

Совсем не удивительно, что в науке и технике свойства логарифмов чисел применяются для более естественного представления физических явлений. Например, широко известно применение относительных величин – децибелы при измерении интенсивности звука и света в физике, абсолютной звездной величины в астрономии, водородного показателя рН в химии и др.

Эффективность логарифмических вычислений легко проверить, если взять, например, и перемножить 3 пятиразрядных числа «вручную» (в столбик), с помощью таблиц логарифмов на листе бумаги и с помощью логарифмической линейки. Достаточно сказать, что в последнем случае вычисления займут от силы секунд 10. Что самое удивительное, так это то, что на современном калькуляторе эти вычисления займут времени не меньше.