Компактное множество

Компактное множество представляет собой определенное топологическое пространство, в покрытии которого находится конечное подпокрытие. Компактные пространства в топологии по своим свойствам могут напоминать систему конечных множеств в соответствующей теории.

Компактное множество или компакт – подмножество топологического пространства, которое является индуцированным типом компактного пространства.

Относительно компактным (предкомпактным) множество является только в случае наличия компактного замыкания. При выделении в пространстве сходящейся подпоследовательности оно может называться секвенциально компактным.

Компактное множество обладает определенными свойствами:

- компакт является образом любого непрерывного отображения;

- замкнутое подмножество всегда имеет компактность;

- непрерывное взаимно однозначное отображение, которое определено на компакте, относится к гомеоморфизму.

Примерами компактного множества являются:

- ограниченные и замкнутые множества Rn;

- конечные подмножества в пространствах, которые удовлетворяют аксиоме делимости Т1;

- теорема Асколи-Арцела, характеризующая компактное множество для определенных функциональных пространств;

- пространство Стоуна, относящегося к булевой алгебре;

- компактификация топологического пространства.

Рассматривая универсальное множество с позиции математики, можно утверждать, что это множество, которое содержит совокупность элементов с конкретными свойствами. Наряду с рассмотренным понятием существует еще гипотетическое множество, включающее в себя всевозможные компоненты. Однако его свойства противоречат самой сути множества.

В сфере элементарной арифметики универсальное множество представлено совокупностью целых чисел. Однако особая роль принадлежит этому множеству в теории множества.

Множество натуральных чисел включает набор элементов (чисел), которые могут возникнуть естественным образом во время счета. Существует два подхода при определении натуральных чисел:

- перечисление предметов (первый, второй и т.д.);

- количество предметов (один, два и т.п.).

При этом различные не целые и отрицательные целые к натуральному типу чисел не относятся. В математической сфере множество натуральных чисел обозначается N. Данное понятие является бесконечным, благодаря наличию для любого числа натурального типа другого натурального числа, большего чем первое.

В отличие от натуральных, целые числа получаются в результате осуществления таких математических операций над натуральными числами, как сложение или вычитание. Множество целых чисел в математике обозначается Z. По результатам вычитания, сложения и умножения двух чисел целого типа будет число только такого же типа. Необходимость появления данного типа чисел обусловлена отсутствием возможности определить разность двух натуральных чисел. Именно Михаэлем Штифелем введены в математику отрицательные числа.

Требует пристального внимания рассмотрения такого понятия, как бикомпактное пространство. Данный термин введен П.С. Александровым для усиления понятия компактного пространства, введенного в математику М. Фреше. В первоначальном понимании пространство топологического типа компактно в случае наличия конечного подпокрытия в каждом открытом покрытии. При последующем развитии математики термин бикомпактность стал на порядок выше, чем его низший аналог. И в настоящее время именно бикомпактность понимают под компактностью, а старый смысл указанного термина заключается в названии «счетно-компактные». Однако оба понятия являются равносильными при использовании в метрических пространствах.