Принцип суперпозиции электрических полей

Основная задача из раздела электростатики формулируется таким образом: по заданным распределению в пространстве и величине электрических зарядов (источников поля) определить значение вектора напряженности Е во всех точках поля. Решение этой задачи возможно на основе такого понятия как принцип суперпозиции электрических полей (принцип независимости действия электрических полей): напряженность какого-либо электрического поля системы зарядов будет равняться геометрической сумме напряженности полей, которые создаются каждым из зарядов.

Заряды, создающие электростатическое поле, можно распределить в пространстве либо дискертно, либо непрерывно. В первом случае напряженность поля:

n

E = Σ Ei₃

i=t,

где Ei – напряженность в определенной точке пространства поля, создаваемого одним i-м зарядом системы, а n – суммарное число дискертных зарядов, которые входят в состав системы.

Пример решения задачи, в основу которого положен принцип суперпозиции электрических полей. Так для определения напряженности электростатического поля, которое создается в вакууме неподвижными точечными зарядами q₁, q₂, …, qn, используем формулу:

n

E = (1/4πε₀) Σ (qi/r³i)ri

i=t,

где ri – радиус-вектор, проведенный из точечного заряда qi в рассматриваемую точку поля.

Приведем еще один пример. Определение напряженности электростатического поля, которое создается в вакууме электрическим диполем.

Электрическое диполе - система из двух одинаковых по абсолютной величине и, при этом, противоположных по знаку зарядов q>0 и –q, расстояние I между которыми относительно мало в сравнении с расстоянием рассматриваемых точек. Плечом диполя будет называться вектор l, который направлен по оси диполя к положительному заряду от отрицательного и численно равен расстоянию I между ними. Вектор pₑ = ql - электрический момент диполя (дипольный электрический момент).

Напряженность Е поля диполя в любой точке:

Е = Е₊ + Е₋,

где Е₊ и Е₋  являются напряженностями полей электрических зарядов q и –q.

Таким образом, в точке А, которая расположена на оси диполя, напряженность поля диполя в вакууме будет равна

E = (1/4πε₀)(2pₑ/r³)

В точке В, которая расположена на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины:

E = (1/4πε₀)(pₑ/r³)

В произвольной точке М, достаточно удаленной от диполя (r≥l), модуль напряженности его поля равен

E = (1/4πε₀)(pₑ/r³)√3cosϑ + 1

Кроме того, принцип суперпозиции электрических полей состоит из двух утверждений:

1. Кулоновская сила взаимодействия двух зарядов не зависит от присутствия других заряженных тел.
2. Предположим, что заряд q взаимодействует с системой зарядов q1, q2, . . . , qn. Если каждый из зарядов системы действует на заряд q с силой F₁, F₂, …, Fn соответственно, то результирующая сила F, приложенная к заряду q со стороны данной системы, равна векторной сумме отдельных сил:
   F = F₁ + F₂ + … + Fn.

Таким образом, принцип суперпозиции электрических полей позволяет прийти к одному важному утверждению.

Как известно, закон всемирного тяготения справедлив не только для точечных масс, но и для шаров со сферически-симметричным распределением массы (в частности, для шара и точечной массы); тогда r — расстояние между центрами шаров (от точечной массы до центра шара). Этот факт вытекает из математической формы закона всемирного тяготении и принципа суперпозиции.

Поскольку формула закона Кулона имеет ту же структуру, что и закон всемирного тяготения, и для кулоновской силы также выполнен принцип суперпозиции полей, можно сделать аналогичный вывод: по закону Кулона будут взаимодействовать два заряженных шара (точечный заряд с шаром) при условии, что шары имеют сферически-симметричное распределение заряда; величина r в таком случае будет расстоянием между центрами шаров (от точечного заряда до шара).

Именно поэтому напряжённость поля заряженного шара окажется вне шара такой же, как и у точечного заряда.

Но в электростатике, в отличие от гравитации, с таким понятием, как суперпозиция полей, надо быть осторожным. Например, при сближении положительно заряженных металлических шаров сферическая симметрия нарушится: положительные заряды, взаимно отталкиваясь, будут стремиться к наиболее удалённым друг от друга участкам шаров (центры положительных зарядов будут находиться дальше друг от друга, чем центры шаров). Поэтому сила отталкивания шаров в данном случае будет меньше того значения, которое получится из закона Кулона при подстановке вместо r расстояния между центрами.