Теорема косинусов и ее доказательство

Каждый из нас много часов просидел над решением той или иной задачи по геометрии. Конечно, возникает вопрос, зачем вообще нужно учить математику? Вопрос особо актуален для геометрии, знания которой если и пригождаются, то очень редко. Но у математики есть назначение и для тех, кто не собирается становиться работником точных наук. Она заставляет человека работать и развиваться.

Первоначальным назначением математики было не наделение учеников знаниями о предмете. Учителя ставили себе целью научить детей мыслить, рассуждать, анализировать и аргументировать. Именно это мы и находим в геометрии с ее многочисленными аксиомами и теоремами, следствиями и доказательствами.

Теорема косинусов

Одновременно с тригонометрическими функциями и неравенствами алгебры начинают изучать углы, их значение и нахождение. Теорема косинусов является одной из первых формул, которая связывает в понимании ученика обе стороны математической науки.

Для нахождения стороны по двум другим и углу между ними применяется теорема косинусов. Для треугольника с прямым углом нам подойдет и теорема Пифагора, но если говорить о произвольной фигуре, то она здесь применена быть не может.

Теорема косинусов выглядит следующим образом:

АС ²= АВ ²+ ВС ²- 2* АВ* ВС* cos<АВС

Квадрат одной стороны равен сумме двух других сторон, взятых в квадрате, минус их произведение, умноженное на два и на косинус угла, ими образованного.

Если посмотреть более внимательно, то данная формула напоминает теорему Пифагора. Действительно, если принять угол между катетами равным 90, то значение его косинуса будет 0. В результате останется только сумма квадратов сторон, что и отражает теорема Пифагора.

Теорема косинусов: Доказательство

Из данного выражения выводим формулу АС ² и получаем:

АС ² = ВС ² + АВ ² - 2 * АВ * ВС * cos <АВС

Таким образом, видим, что выражение соответствует приведенной выше формуле, что свидетельствует о ее истинности. Можно сказать, что теорема косинусов доказана. Она используется для всех видов треугольников.

Использование

Кроме уроков по математике и физике, данная теорема широко используется в архитектуре и строительстве, для вычисления необходимых сторон и углов. С ее помощью определяют необходимые размеры постройки и количество материалов , которые потребуются для ее возведения. Конечно, большинство процессов, которые ранее требовали непосредственного человеческого участия и знаний, автоматизированы на сегодняшний день. Существует огромное количество программ, которые позволяют моделировать подобные проекты на компьютере. Их программирование также осуществляется с учетом всех математических законов, свойств и формул.

D