Как решать систему уравнений линейного типа

Для полного понимания того, как решать систему уравнений, следует рассмотреть, что же она представляет собой. Как понятно из самого термина, «система» - это совокупность нескольких уравнений, связанных между собой. Существуют системы алгебраических и дифференциальных уравнений. В данной статье мы уделим внимание тому, как решать систему уравнений первого типа.
По определению, алгебраическим называется уравнение, в котором над переменными совершаются лишь простые математические операции, т.е. сложение, деление, вычитание, умножение, возведение в степень и отыскание корня. Алгоритм решения уравнения данного типа сводится к тому, чтобы путем его преобразований найти равносильную ему, но более простую конструкцию.
Системы алгебраических уравнений подразделяются на линейные и нелинейные.
Система линейных уравнений (также широко используется аббревиатура СЛАУ) отличается от системы нелинейных уравнений тем, что неизвестные переменные здесь находятся в первой степени. Общий вид СЛАУ в матричной записи выглядит так: Ax=b, где А - множество известных коэффициентов, х - переменные, b - множество известных свободных членов.

Существует множество способов того, как решать систему уравнений подобного типа, они подразделяются на прямые и итерационные методы. Прямые методы позволяют найти значения переменных за определенное количество математических преобразований, а итерационные используют алгоритм последовательного приближения и уточнения.

Разберем на примере, как решить систему линейных уравнений, используя прямой метод нахождения значения переменных. К прямым методам относятся методы Гаусса, Жордана-Гаусса, Крамера, прогонки и некоторые другие. Одним из самых простейших можно назвать метод Крамера, обычно именно с него в учебных программах начинается знакомство с матрицами. Данный метод предназначается для решения квадратных СЛАУ, т.е. таких систем, в которых количество уравнений равно количеству неизвестных переменных в строке. Также для того чтобы решить систему уравнений методом Крамера, необходимо убедиться, что свободные члены - не нули (это необходимое условие).

Алгоритм решения таков: составляется матрица 1, состоящая из известных коэффициентов а-системы и находится ее главный определитель ∆х. Определитель находят путем вычитания произведения элементов побочной диагонали из произведения элементов главной.

Далее составляется матрица 2, где в первый столбец подставляют значения свободных элементов b, аналогично предыдущему примеру находят определитель ∆х₁.

Составляем матрицу 3, значения свободных коэффициентов подставляем уже во второй столбец, находим определитель матрицы ∆х₂. И так далее до тех пор, пока не вычислим определитель той матрицы, где коэффициенты b находятся в последнем столбце.

Чтобы найти значение той или иной переменной, необходимо полученные при подстановке свободных коэффициентов определители разделить на главный определитель, т.е. x₁= ∆х₁/∆х, х₂=∆х₂/∆х и т.д.
При возникновении вопросов о том, как решать систему уравнений тем или иным способом рекомендую обратиться к справочному и учебному материалу, где подробно изложены все основные шаги.