Числовая последовательность: понятие, свойства, способы задания

Числовая последовательность и ее предел представляют собой одну из важнейших проблем математики на протяжении всей истории существования этой науки. Постоянно пополняемые знания, формулируемые новые теоремы и доказательства – все это позволяет рассматривать данное понятие с новых позиций и под разным углом зрения.

Числовая последовательность, в соответствии с одним из самых распространенных определений, представляет собой математическую функцию, основанием которой служит множество натуральных чисел, располагающихся согласно той или иной закономерности.

Эта функция может считаться определенной, если известен закон, в соответствии с которым для каждого натурального числа можно четко определить действительное число.

Существует несколько вариантов создания числовых последовательностей.

Во-первых, эта функция может быть задана так называемым «явным» способом, когда имеется определенная формула, при помощи которой каждый ее член может быть определен простой подстановкой порядкового номера в заданную последовательность.

Второй способ получил название «реккурентного». Его суть состоит в том, что задаются несколько первых членов числовой последовательности, а также специальная реккурентная формула, с помощью которой, зная предыдущий член, можно найти последующий.

Наконец, наиболее общим способом задания последовательностей является так называемый "аналитический метод", когда без особого труда можно не только выявить тот или иной член под определенным порядковым номером, но и, зная несколько последовательных членов, прийти к общей формуле данной функции.

Числовая последовательность может быть убывающей или возрастающей. В первом случае каждый последующей ее член меньше предыдущего, а во втором – наоборот, больше.

Рассматривая данную тему, нельзя не затронуть вопрос про пределы последовательностей. Пределом последовательности называется такое число, когда для любой, в том числе для бесконечно малой величины, существует порядковый номер, после которого уклонение следующих друг за другом членов последовательности от заданной точки в числовом виде становится меньше величины, заданной еще при формировании этой функции.

Понятие предела числовой последовательности активно используется при проведении тех или иных интегральных и дифференциальных счислений.

Математические последовательности обладают целым набором достаточно интересных свойств.

Во-первых, любая числовая последовательность есть пример математической функции, следовательно, те свойства, которые характерны для функций, можно смело применять и для последовательностей. Самым ярким примером таких свойств является положение о возрастающих и убывающих арифметических рядах, которые объединяются одним общим понятием – монотонные последовательности.

Во-вторых, существует достаточно большая группа последовательностей, которые нельзя отнести ни к возрастающим, ни к убывающим, - это периодические последовательности. В математике ими принято считать те функции, в которых существует так называемая длина периода, то есть с определенного момента (n) начинает действовать следующее равенство y_n = y_n+T, где Т и будет являться той самой длиной периода.