Практическое применение и нахождение обратной матрицы

Матрица – это таблица, которая заполнена определенным набором чисел в определенном порядке. Данный термин был введен в оборот выдающимся английским ученым-теоретиком Джеймсом Сильвестром. Он является одним из основоположников теории применения данных математических элементов.

На сегодняшний день они нашли широкое применение при проведении различных расчетов, которые построены на основе такого способа, как, например, нахождение обратной матрицы в различных отраслях человеческой деятельности. Этот способ базируется на определении неизвестных параметров системы различных уравнений и часто используется при проведении экономических расчетов.

Бывают следующие частные случаи данных математических компонентов: строчная, столбцовая, нулевая, квадратная, диагональная, единичная. Строчная состоит только из одной строки элементов, а столбцовая – из одного столбика чисел. Нулевая – все ее элементы равны 0. У квадратного такого математического элемента количество столбиков равно количеству строк. В свою очередь, в диагональной, расположенные на главной диагонали элементы, отличны от «0», а остальные в ней должны быть равны «0». Единичная – это один из подвидов диагональной матрицы. У нее на главной диагонали расположены только «1».

Примеры матриц:

где: A_k – это общее обозначение, a_ij – элементы ,

(а) –2-го порядка;

(б) – строчная;

(в) –3-го порядка;

(г) – пример единичной таблицы 2-го порядка;

Также существует обратная матрица, определение которой заключается в следующем. При умножении на первоначальную таблицу обратной получается единичная. Разработано множество методов, которые обеспечивают нахождение обратной матрицы. Наиболее простой из них основан на определении алгебраических дополнений и определителя (его также иногда называют детерминантом).

Определителем матрицы называется выражение a₁₁a₂₂-a₁₂a_21, обозначается он следующим образом: ǀАǀ. Приведенная формула справедлива для таблицы соответствующей второму порядку. Есть формулы для определителей матриц более высокого порядка. Обязательное условие существования определителя – таблица должна быть квадратной. На практике этот элемент данной теории чаще всего используется при такой процедуре, как нахождение обратной матрицы.

Второй важный компонент, с помощью которого можно найти значения ее элементов, является алгебраическое дополнение. Вычисляется оно по формуле: A_ij=(-1) ^i+j * M_ij, где М - это минор. По существу – это дополнительный определитель, который можно получить путем мысленного удаления строки и столбца, в которых расположен данный элемент. Например, для таблицы, соответствующей второму порядку, которая приведена ранее по тексту, у элемента a₁₁ алгебраическим дополнением будет элемент a₂₂.

Нахождение обратной матрицы выполняется в 3 этапа. На первом этапе определяется детерминант. На следующем шаге - все алгебраические дополнения, которые потом записываются в соответствии со своими индексами, и получается таблица алгебраических дополнений. На завершающем этапе получается обратная матрица, нахождение которой заканчивается перемножением каждого алгебраического дополнения на детерминант.

Наиболее часто матрицы используются при проведении экономических расчетов. С их помощью можно легко и быстро обработать большой объем информации. При этом конечный результат будет представлен в удобном для восприятия виде.

Еще одной сферой человеческой деятельности, в которой матрицы также нашли большое применение – это моделирование 3D-изображений. Подобные инструменты интегрированы в современные пакеты для реализации 3D-моделей и позволяют конструкторам производить быстро и точно необходимые расчеты. Наиболее ярким представителем таких систем является Компас-3D.

Еще одной программой, в которую интегрированы инструменты для проведения подобных расчетов, является Microsoft Office, а конкретнее – табличный процессор Excel.