Теорема Гаусса и принцип суперпозиции

Теорема Гаусса является одним из фундаментальных законов электродинамики, структурно входящим в систему уравнений еще одного великого ученого – Максвелла. Она выражает связь между потоками напряженности как электростатических, так и электродинамических полей, проходящими через поверхность замкнутого типа. Имя Карла Гаусса звучит в научном мире не менее громко, чем, например, Архимеда, Ньютона или Ломоносова. В физике, астрономии и математике можно найти не так уж много сфер, развитию которых самым непосредственным образом не посодействовал этот гениальный немецкий ученый.

Теорема Гаусса сыграла ключевую роль в изучении и понимании природы электромагнетизма. По большому счету она стала неким обобщением и в некоторой степени интерпретацией известного закона Кулона. Это как раз тот случай, не такой уж редкий в науке, когда одни и те же явления можно описать и сформулировать по-разному. Но теорема Гаусса не только приобрела прикладное значение и практическое применение, она помогла взглянуть на известные законы природы в несколько другом ракурсе.

В некотором роде она поспособствовала грандиозному прорыву в науке, заложив фундамент современных знаний в области электромагнетизма. Так что же собой представляет теорема Гаусса и каково ее практическое применение? Если взять пару статичных точечных зарядов, то поднесенная к ним частица будет притягиваться или отталкиваться с силой, которая равна алгебраической сумме величин всех элементов системы. При этом напряженность общего совокупного поля, образованного в результате такого взаимодействия, будет суммой отдельных его компонентов. Это соотношение получило широкую известность в качестве принципа суперпозиции, позволяющего точно описать любую систему, созданную разновекторными зарядами, независимо от их общего числа.

Однако когда таких частиц очень много, у ученых поначалу при расчетах возникали определенные трудности, которые невозможно было разрешить применением закона Кулона. Преодолеть их помогла теорема Гаусса для магнитного поля, которая, впрочем, справедлива для любых силовых систем зарядов, имеющих убывающую напряженность, пропорциональную r ⁻². Суть ее сводится к тому, что произвольное число зарядов, окруженное замкнутой поверхностью, будет иметь полный поток напряженности, равный суммарной величине электрического потенциала каждой точки данной плоскости. При этом принципы взаимодействия между элементами в расчет не принимаются, что сильно упрощает вычисления. Таким образом, данная теорема позволяет рассчитать поле даже с бесконечным числом носителей электрического заряда.

Правда, в действительности это осуществимо лишь в некоторых случаях их симметричного расположения, когда имеется удобная поверхность, через которую легко вычисляется сила и напряженность потока. Например, пробный заряд, размещенный внутри проводящего тела шарообразной формы, не будет испытывать ни малейшего силового воздействия, поскольку показатель напряженности поля там равен нулю. Способность проводников выталкивать из себя различные электрически поля объясняется исключительно наличием в них носителей заряда. В металлах эту функцию выполняют электроны. Такие особенности сегодня широко используются в технике для создания различных пространственных областей, в которых не действуют электрические поля. Эти явления прекрасно объясняет теорема Гаусса для диэлектриков, влияние которых на системы элементарных частиц сводится к поляризации их зарядов.

Чтобы создать такие эффекты, достаточно окружить определенную область напряженности металлической экранирующей сеткой. Так предохраняют от воздействия электрических полей чувствительные высокоточные приборы и людей.