Зачем нужны зоны Френеля

Зоны Френеля – это участки, на которые разбивается поверхность звуковой или световой волны для проведения вычислений результатов дифракции звука или света. Впервые этот метод применил О.Френель в 1815 году.

Историческая справка

Огюстен Жан Френель (10.06.1788–14.07.1827) – французский физик. Посвятил свою жизнь изучению свойств физической оптики. Он еще в 1811 году под влиянием Э. Малюса начал самостоятельно изучать физику, вскоре увлекся экспериментальными исследованиями в области оптики. В 1814 году «переоткрыл» принцип интерференции, а в 1816-м дополнил широко известный принцип Гюйгенса, в который ввел представление о когерентности и интерференции элементарных волн. В 1818 г., опираясь на проделанную работу, разработал теорию дифракции света. Он ввел практику рассмотрения дифракции от края, а также от круглого отверстия. Проводил опыты, ставшие впоследствии классическими, с бипризмами и бизеркалами по интерференции света. В 1821 г. доказал факт поперечности световых волн, в 1823-м открыл круговую и эллиптическую поляризации света. Объяснил на основе волновых представлений хроматическую поляризацию, а также вращение плоскости поляризации света и двойное лучепреломление. В 1823 г. установил законы преломления и отражения света на неподвижной плоской поверхности раздела двух сред. Наряду с Юнгом считается создателем волновой оптики. Является изобретателем ряда интерференционных приборов, таких как зеркала Френеля или бипризма Френеля. Считается основателем принципиально нового способа маячного освещения.

Немного теории

Определять зоны Френеля можно как для дифракции с отверстием произвольной формы, так и вообще без него. Однако с точки зрения практической целесообразности лучше всего рассматривать его на отверстии круглой формы. При этом источник света и точка наблюдения должны находиться на прямой, которая перпендикулярна плоскости экрана и проходит через центр отверстия. По сути, на зоны Френеля можно разбивать любую поверхность, сквозь которую проходят световые волны. Например, поверхности равной фазы. Однако в данном случае будет удобнее разбить на зоны плоское отверстие. Для этого рассмотрим элементарную оптическую задачу, которая позволит нам определить не только радиус первой зоны Френеля, но и последующие с произвольными номерами.

Задача по определению размеров колец

Для начала следует представить, что поверхность плоского отверстия находится между источником света (точка С) и наблюдателем (точка Н). Она располагается перпендикулярно линии СН. Отрезок СН проходит через центр круглого отверстия (точка О). Так как наша задача имеет ось симметрии, то зоны Френеля будут иметь вид колец. А решение будет сводиться к определению радиуса этих кругов с произвольным номером (м). При этом максимальное значение называют радиусом зоны. Для решения задачи необходимо сделать дополнительное построение, а именно: выбрать произвольную точку (А) в плоскости отверстия и соединить ее отрезками прямых линий с точкой наблюдения и с источником света. В результате получаем треугольник САН. Далее можно сделать так, что световая волна, приходящая к наблюдателю по пути САН, пройдет больший путь, чем та, которая пойдет по пути СН. Отсюда получаем, что разность хода СА+АН-СН определяет разность волновых фаз, которые прошли от вторичных источников (А и О) в точку наблюдения. От этого значения зависит результирующая интерференция волн с позиции наблюдателя, а следовательно и световая интенсивность в этой точке.

Расчет первого радиуса

Получаем, что если разность хода будет равна половине длины световой волны (λ/2), то свет придет к наблюдателю в противофазе. Отсюда можно сделать вывод, что если разность хода будет меньше чем λ/2, то свет будет приходить в одинаковой фазе. Данное условие СА+АН-СН≤ λ/2 по определению есть условие того, что точка А находится в первом кольце, то есть это первая зона Френеля. В таком случае для границы этого круга разность хода будет равна половине длины световой волны. Значит это равенство позволяет определить радиус первой зоны, обозначим его Р₁. При разности хода, соответствующего λ/2, он будет равен отрезку ОА. В том случае, если расстояния СО значительно превосходят диаметр отверстия (обычно рассматривают именно такие варианты), то из геометрических соображений радиус первой зоны определяется по следующей формуле: Р₁=√( λ*СО*ОН)/(СО+ОН).

Расчет радиуса зоны Френеля

Формулы для определения последующих значений радиусов колец идентичны рассмотренной выше, только в числитель добавляется номер искомой зоны. В таком случае равенство разности хода будет иметь вид: СА+АН-СН≤ м*λ/2 или СА+АН-СО-ОН≤ м*λ/2. Отсюда следует, что радиус искомой зоны с номером «м» определяет следующая формула: Р_м=√( м*λ*СО*ОН)/(СО+ОН)=Р₁√м

Подведение промежуточных результатов

Можно отметить, что разбитие на зоны – это разделение вторичного светового источника на источники, имеющие одинаковую площадь, так как П_м=π* Р_м²- π*Р_м-1²= π*Р₁²=П₁. Свет от соседних зон Френеля приходит в противоположной фазе, так как разность хода соседнего кольца по определению будет равна половине длины световой волны. Обобщая этот результат, получаем, что разбитие отверстия на круги (такие, что свет от соседних приходит к наблюдателю с фиксированной разностью фаз) будет означать разбитие на кольца с одинаковой площадью. Данное утверждение легко доказывается с помощью задачи.

Зоны Френеля для плоской волны

Рассмотрим разбивку площади отверстия на более тонкие кольца с равной площадью. Эти круги являются вторичными источниками света. Амплитуда световой волны, пришедшей от каждого кольца к наблюдателю, примерно одинакова. Кроме того, разность фаз от соседнего круга в точке Н также одинакова. В таком случае комплексные амплитуды в точке наблюдателя при сложении на единой комплексной плоскости образуют часть окружности – дугу. Суммарная же амплитуда – это хорда. Теперь рассмотрим, каким образом меняется картина суммирования комплексных амплитуд в случае изменения радиуса отверстия при условии сохранения остальных параметров задачи. В том случае, если отверстие открывает для наблюдателя всего одну зону, картина сложения будет представлена частью окружности. Амплитуда от последнего кольца будет повернута на угол π относительно центральной части, т. к. разность хода первой зоны, согласно определению, равна λ/2. Данный угол π будет означать, что амплитуды составят половину окружности. В таком случае сумма этих значений в точке наблюдения будет равна нулю – нулевая длина хорды. Если будет открыто три кольца, то картина представит собой полторы окружности и так далее. Амплитуда в точке наблюдателя для четного количества колец равна нулю. А в случае когда используют нечетное число кругов, она будет максимальной и равной значению длины диаметра на комплексной плоскости сложения амплитуд. Рассмотренные задачи в полной мере раскрывают метод зон Френеля.

Кратко о частных случаях

Рассмотрим редкие условия. Иногда при решении задачи говорится, что используется дробное число зон Френеля. В таком случае под половиной кольца понимают четверть окружности картины, что и будет соответствовать половине площади первой зоны. Аналогично высчитывается любое другое дробное значение. Иногда условие предполагает, что некое дробное число колец закрыто, а столько-то открыто. В таком случае суммарная амплитуда поля находится как векторная разность амплитуд двух задач. Когда открыты все зоны, то есть нет препятствий на пути прохождения световых волн, картинка будет иметь вид спирали. Она получается, потому что при открытии большого числа колец следует учитывать зависимость излученного вторичным источником света до точки наблюдателя и от направления вторичного источника. Получаем, что свет от зоны с большим номером имеет малую амплитуду. Центр полученной спирали находится в середине окружности первого и второго колец. Поэтому амплитуда поля в том случае, когда открыты все зоны, вдвое меньше, нежели при открытом одном первом круге, а интенсивность отличается в четыре раза.

Дифракция света зоны Френеля

Давайте рассмотрим, что подразумевают под этим термином. Дифракцией Френеля называют условие, когда сквозь отверстие открывается сразу несколько зон. Если же будет открыто много колец, то этим параметром можно пренебречь, то есть оказываемся в приближении к геометрической оптике. В том случае, когда через отверстие для наблюдателя открывается существенно меньше одной зоны, такое условие называют дифракцией Фраунгофера. Его считают выполненным, если источник света и точка наблюдателя находятся на достаточном расстоянии от отверстия.

Сравнение линзы и зонной пластинки

Если закрыть все нечетные или все четные зоны Френеля, тогда в точке наблюдателя будет световая волна с большей амплитудой. Каждое кольцо дает на комплексной плоскости половину окружности. Так что, если оставить открытыми нечетные зоны, тогда от общей спирали останутся только половинки этих окружностей, которые дают вклад в суммарную амплитуду «снизу вверх». Препятствие на пути прохождения световой волны, при котором открыт только один тип колец, называют зонной пластиной. Интенсивность света в точке наблюдателя многократно превысит интенсивность света на пластинке. Это объясняется тем, что световая волна от каждого открытого кольца попадает к наблюдателю в одинаковой фазе.

Подобная ситуация наблюдается и с фокусировкой света с помощью линзы. Она, в отличие от пластинки, никакие кольца не закрывает, а сдвигает свет по фазе на π*(+2 π*м) от тех кругов, которые закрыты зонной пластиной. В результате амплитуда световой волны удваивается. Более того, линза устраняет так называемые взаимные сдвиги фаз, которые проходят внутри одного кольца. Она разворачивает на комплексной плоскости половину окружности для каждой зоны в отрезок прямой линии. В результате амплитуда возрастает в π раз, и всю спираль на комплексной плоскости линза развернет в прямую линию.